Формулы для офсетной параболической антенны

30 сентября 2026

Рассмотрим такую задачу. Имеется офсетная параболическая антенна. Известны ее размеры. Требуется определить положение фокуса, а также подобрать подходящий облучатель.

Готовые формулы наверняка встречаются в литературе. Однако в тех книгах, что я читал, необходимых формул не нашлось. Математик из меня посредственный, поэтому я обратился к Claude Opus 5. Он вывел все формулы. Ознакомиться с выводом можно в приложении к посту [PDF].

Также LLM-агент нарисовал картинку:

Изображение офсетной параболической антенны и основных размеров

При помощи измерительной рулетки и линейки определяем высоту зеркала H, его ширину W, а также максимальную глубину d. Данной информации достаточно, чтобы вычислить все остальное.

Фокусное расстояние:

F = \frac{W^{3}}{16 H d}

Оно одинаково для офсетной антенны и большой прямофокусной антенны, из которой «вырезана» офсетная. Если в спецификации антенны указан F/D, то это может быть как отношение F к диаметру офсетной антенны, так и отношение F к диаметру исходной прямофокусной антенны.

Диаметр исходной антенны:

D_{orig} = W + \frac{W^{2} \sqrt{H^{2} - W^{2}}}{4 H d}

Офсетный угол (он же угол места, если антенна установлена вертикально):

ψ = \arccos (\frac{W}{H})

Расстояние от фокуса до крайних боковых точек зеркала:

L_{side} = \frac{W H}{16 d} + \frac{H d}{W}

Расстояние от фокуса до верхнего края зеркала:

L_{top} = L_{side} + \frac{\sqrt{H^{2} - W^{2}}}{2}

... и до нижнего края:

L_{bottom} = L_{side} - \frac{\sqrt{H^{2} - W^{2}}}{2}

Допустим, нам досталась антенна без крепления для облучателя. Берем веревку. Завязываем на ней узел. Отмеряем от узла $L_{top}$ и привязываем к верхнему краю антенны. В другую сторону от узла отмеряем $L_{bottom}$ и привязываем к нижнему краю. Беремся за узел и натягиваем веревку в плоскасти симметрии зеркала. Точка, в которую попал узел – это положение фокуса.

Угол между отрезками, соединяющими фокус с верхней и нижней точками:

α = 2 \cdot \arcsin (\frac{W}{2 \sqrt{L_{top} L_{bottom}}})

Заметьте, что если $L_{top}$ = $L_{bottom}$ = C, то получаем формулу для прямофокусной антенны. То же происходит и с остальными формулами, если W = H.

Для максимальной эффективности края параболической антенны облучают на 10 dB слабее центра. Можно принять α за угол главного лепестка диаграммы направленности облучателя по уровню -10 dB. Метод неточный. Идеальный облучатель сделать проблематично в силу асимметрии антенны.

Проверим формулы на конкретном примере. Офсетная антенна, используемая мной для QO-100, имеет размеры H = 1030 мм, W = 925 мм, d = 105 мм.

Посчитаем:

>>> from math import pi, sqrt, asin, acos
>>> H = 1030
>>> W = 925
>>> d = 105
>>> F = pow(W,3)/(16*H*d)
>>> F
457.38160251964865
>>> F/W
0.4944665973185391

Производитель заявляет F = 450 мм и F/D = 0.5.

>>> psi = acos(W/H)*180/pi
>>> psi
26.096004518917738

В паспорте указан офсетный угол 26.6°.

>>> L_side = W*H/(16*d) + H*d/W
>>> L_side
684.0320141570141

Рулеткой я измерил 710 мм. Стоит отметить, что в фокусе установлен LNB, на LNB установлена спиральная антенна, а спиральная антенна накрыта колпаком. Измерения примерные.

>>> L_top = L_side + sqrt(pow(H,2)-pow(W,2))/2
>>> L_top
910.5684350698555
>>> L_bottom = L_side - sqrt(pow(H,2)-pow(W,2))/2
>>> L_bottom
457.4955932441728

Я измерил 920 мм и 440 мм соответственно. Примечательно, что $L_{bottom}$ оказался равен F. Нижняя точка офсетной антенны лежит на оси симметрии исходной прямофокусной антенны.

>>> alpha = 2*asin(W/(2*sqrt(L_top*L_bottom)))*180/pi
>>> alpha
91.54494037151936

Измерить α не так-то просто. Я даже не пытался.

Чтобы подобрать подходящий облучатель, обратимся к NEC2. Модель рекомендует спиральную антенну из четырех витков с круглым рефлектором, шагом намотки 0.23λ и диаметром 0.37λ. Ширина главного лепестка по уровню -10 dB составляет 89.9°.

Сейчас я использую антенну из пяти витков. Ширина ее главного лепестка – 76.7°. На спутнике сигнал идет с уровнем S9, так что срочно менять облучатель не требуется. При случае попробую четыре витка.