Про картографические проекции, ортодромы и локсодромы
Рассмотрим следующую задачу. Самолет вылетает из Москвы. После взлета пилот смотрит на компас и выбирает направление строго на запад. Затем компас убирается, а самолет летит «прямо», насколько это возможно для самолета. То есть, вдоль поверхности Земли и не меняя выбранного направления. Влиянием ветра пренебрегаем. Топливо считаем бесконечным. Вопрос – пролетит ли самолет над Северной или над Южной Америкой?
Казалось бы, нам со школы известно, как выглядит карта мира. Понятно, где на карте Москва, где запад, и что на западе находится Северная Америка. Где может быть подвох?
Вспомним, что Земля круглая, и что любая карта представляет собой ту или иную проекцию сфероида на плоскость. Проекций существует много. Каждая имеет свои преимущества, недостатки и области применения.
Чаще всего на картах мы видим проекцию Меркатора. Герард Меркатор разработал эту проекцию в 1569 году специально для мореплавателей. Пусть требуется проплыть из точки А в точку Б, и между этими точками нет суши. Влиянием течений и т.п. пренебрегаем. Находим эти две точки на карте и соединяем прямой линией. Допустим, линия идет строго на северо-запад. Берем компас, и плывем по компасу на северо-запад. Попадаем в точку Б. До Меркатора так не работало. Морякам то и дело приходилось корректировать курс, используя сложные расчеты.
Примечание: Проекция Меркатора искажает размеры. Так Гренландия выглядит равной Африке по площади, но на самом деле Африка в 14 раз больше. Существуют равновеликие проекции, которые сохраняют размеры, но при этом искажаются углы и формы. Совсем без искажений Землю показывает только глобус.
В точку Б мы попадаем по линии постоянного компасного курса, или локсодроме. Локсодрома является кратчайшим путем при движении по экватору или по меридиану. Однако во всех остальных случаях путь по локсодроме длиннее кратчайшего. Другими словами, за удобство навигации мы платим большим временем в пути, а также большим расходом топлива и еды.
Кратчайший путь обязательно является дугой большого круга, он же великий круг или great circle. Большой круг – это окружность на сфере, плоскость которой проходит через центр сферы. Кратчайший пусть формально называется ортодрома.
Прямая линия из Москвы на запад, нарисованная на карте в проекции Меркатора – это локсодрома. Самолет летел бы по локсодроме, если бы пилот постоянно смотрел на компас и корректировал направление движения. Но по условию задачи он этого не делает. Направление выбирается один раз, и после этого не меняется. В этом случае самолет летит по большому кругу.
Чтобы удостовериться в этом, смотреть нужно не на карту, а на глобус. Глобуса у меня дома не нашлось, поэтому я воспользовался сайтом WebGL Earth:
Как видите, если выбрать направление один раз и не менять его, то Северная Америка остается правее, а самолет пролетает над Южной Америкой. Можно перепроверить по Яндекс.Картам:
Здесь применена проекция Меркатора. Как мы выяснили, прямая линия в данной проекции – это локсодрома. Когда же мы просим сервис измерить расстояние между двумя точками, то используются ортодромы. На больших расстояниях они выглядят, как дуги. Заметьте, что синяя дуга выходит из Москвы строго на запад, и попадает в Южную Америку. Чтобы попасть в Северную Америку, нужно выбрать направление на северо-запад, как показано красной дугой.
Существуют проекции, где прямые линии – это ортодромы. Например, вот азимутальная эквидистантная проекция c центром в Москве:
Данная проекция была получена при помощи онлайн-генератора за авторством радиолюбителя Tom, NS6T. Здесь любая линия, выходящая из центральной точки, является ортодромой. Также направления от центральной точки ко всем остальным точкам соответствуют реальным азимутам. Заметьте, что Южная Америка все еще находится на западе от Москвы, а Северная Америка – все еще на северо-западе.
Азимутальная эквидистантная проекция популярна среди радиолюбителей. Она показывает, в какую сторону поворачивать антенну Уда-Яги для связи с той или иной точкой Земли, а также каково кратчайшее расстояние до этой точки.